(Axiomatization of geometry)

Cuốn sách Grundlagen der Geometrie (tr.: Nền tảng của Hình học) xuất bản bởi Hilbert vào năm 1899 đưa ra một tập hợp chuẩn, bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh đi những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, mà các tác phẩm của ông lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Độc lập và cùng thời gian, một học sinh Mỹ 19 tuổi tên là Robert Lee Moore cũng xuất bản một tập các tiên đề tương tự. Một số các tiên đề trùng hợp nhau, trong khi một số tiên đề trong hệ thống của Moore là các định lý trong hệ thống tiên đề của Hilbert và ngược lại.

Cách tiếp cận của Hilbert đánh dấu sự chuyển đổi sang hệ thống phương pháp tiên đề hiện đại. Các tiên đề không được xem như là các sự thật hiển nhiên. Hình học có thể xử lý các đối tượng, về những thứ mà chúng ta có trực giác mạnh, nhưng không cần phải gán cho một nghĩa rõ ràng về những khái niệm chưa được định nghĩa. Những phần tử, chẳng hạn như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, và những thứ khác, có thể được thay thế, như Hilbert nói, bởi bàn, ghế, các ly bia và các đối tượng khác. Chính là những quan hệ được định nghĩa giữa chúng mà chúng ta bàn luận.

Hilbert đầu tiên liệt kê các khái niệm chưa định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, nằm trên (một quan hệ giữa các điểm và các mặt phẳng),sự nằm giữa, sự đồng dạng giữa các cặp điểm, và sự đồng dạng giữa các góc. Những tiên đề này thống nhất cả hình học phẳng và hình học không gian của Euclid trong một hệ thống duy nhất.